散度定理是指在向量分析中，一个把向量场通过曲面的流动（即通量）与曲面内部的向量场的表现联系起来的定理。更加精确地说，散度定理说明向量场穿过曲面的通量，等于散度在曲面围起来的体积上的积分。直观地，所有源点的和减去所有汇点的和，就是流出这区域的净流量。

        在物理和工程中，散度定理通常运用在三维空间中。然而，它可以推广到任意维数。在一维，它等价于微积分基本定理；在二维，它等价于格林公式。

散度定理(divergence theorem)

$$\int_{\Omega}\nabla\cdot\vec{F}\;dV=\oint_{\partial\Omega}\vec{F}\cdot\vec{n}\;dS $$

分部积分

$u(x),v(x)$是两个关于$x$的函数，各自具有连续导数$u'=u'(x)\quad v'=v(x)$,且不定积分$\int u'(x)v(x)\;dx$存在，有
$$\int u(x)\;dv(x)=u(x)v(x)-\int v(x)\;du(x)$$

格林公式

$D$是有分段光滑的曲线$L$围成，$P(x,y)\quad Q(x,y)$在区域$D$一阶偏导连续，有
$$\iint_D\left(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}\right)\;dxdy=\oint_{\partial D^+} P\;dx+Q\;dy$$dS

格林第一公式

$$\iint_{D}u\nabla^2v\;dxdy=\oint_{\partial D^+}u\frac{\partial v}{\partial\vec{n}}\;dS-\iint_{D}\nabla u\cdot\nabla v\;dxdy$$

其中$\frac{\partial v}{\partial \vec{n}}=\nabla v\cdot \vec{n}$, $\vec{n}$为边界$\partial D$的法向量，取$P=u\frac{\partial v}{\partial x}, Q=u\frac{\partial v}{\partial y}$即可证明

内积形式
$$(u,\Delta v)_{D}=\oint_{\partial D^+}\;dS-(\nabla u,\nabla v)_D$$

格林第二公式

$$\iint\left(u\nabla^2v-v\nabla^2u\right)\;dxdy=\oint_{\partial D^+}\left(u\frac{\partial v}{\partial \vec{n}}-v\frac{\partial u}{\partial \vec{n}}\right)\;dS$$

散度定理推导格林公式

$$\begin{aligned} &\oint_{\partial D^+}P\;dx+Q\;dy\\=&\oint_{\partial D^+}Pcos(\tau,i)+Qcos(\tau,j)\;dS\\=&\oint_{\partial D^+}-Pcos(\vec{n},j)+Qcos(\vec{n},i)\;dS\\=&\oint_{\partial D^+}(Q,-P)\cdot\vec{n}\;dS\\=&\iint_D\left(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}\right)\;dxdy \end{aligned}$$

高斯公式

$$\iiint_{\Omega}\left(\frac{\partial P}{\partial x}+\frac{\partial Q}{\partial y}+\frac{\partial R}{\partial z}\right)\;dV=\oint_{\partial \Omega^+}\left(Pcos\alpha+Qcos\beta+Rcos\gamma\right)\;dS$$

附录

$$\nabla=\left(\frac{\partial }{\partial x},\frac{\partial }{\partial y},\frac{\partial }{\partial z}\right)$$

$$\nabla\cdot=\frac{\partial }{\partial x}+\frac{\partial }{\partial y}+\frac{\partial }{\partial z}$$

$$\nabla^2=\Delta=\frac{\partial^2 }{\partial x^2}+\frac{\partial^2 }{\partial y^2}+\frac{\partial^2 }{\partial z^2}$$