数环与数域

1. 数域由某些负数组成的一个集合P,包含0和1，且其中任意两个数的和差积商仍是P中的数。
2. 数环由某些负数组成的一个集合R，且其中任意两个数的和差积仍是R中的数。
3. 所有的数域都包含有理数域。

一元多项式

1. 零多项式是唯一不定义次数的多项式，0次多项式整除任意多项式
2. $f(x)=g(x)\Leftrightarrow$对应系数相等
3. 数域P上的一元多项式，按加法乘法构成的集合，成为数域P上的一元多项式。

多项式的整除性

1. 带余除法
2. 整除
3. 最大公因式
4. 最大公因式存在表示定理

互素

• 性质1：$(f(x),h(x)))=1,(g(x),h(x))=1则(f(x)g(x),h(x))=1$
• 性质2：$(f(x),g(x))=1,f(x)|g(x)h(x),则f(x)|h(x)$
• 性质3：$f_1(x)|g(x),f_2(x)|g(x),且(f_1(x),f_2(x))=1,则f_1(x)f_2(x)|g(x)$

不可约多项式

• 若$p(x)$是不可约多项式，则只有$c|p(x)$和$cp(x)|p(x)$,其中$c\in P 且c\neq0$
• 若$p(x)$是不可约多项式，则对任意的多项式$f(x)$有$p(x)|f(x)或者(p(x),f(x))=1$
• 若$p(x)$是不可约多项式，且对于任意两个多项式$f(x),g(x)$有$p(x)|f(x)g(x)$则$p(x)|f(x)或p(x)|g(x)$

因式唯一分解定理

标准分解式

重因式

• 若不可约多项式$p(x)$是$f(x)$的$k$重因式($k > 1$)，则$p(x)$是$f'(x) 的k-1$重因式
• 若不可约多项式$p(x)$是$f(x)$的$k$重因式($k > 1$)，则$p(x)$是$f'(x) f''(x)\cdots f^{(n-1)}(x)$的因式，但不是$f^{(k)}(x)$的因式
• 若不可约多项式$p(x)$是$f(x)$的重因式当且仅当$p(x)是f(x),f'(x)$的公因式
• 多项式$f(x)$无重因式的充要条件是$f(x),f'(x)$互素

重要数域上的不可约多项式

本原多项式

有理数域上的多项式可以表示成一个有理数与一个本源多项式的乘积，除正负号外，表示方法为一。

一个非零整系数多项式$f(x)$在有理数域上可约的充要条件是它在整数环上可约。

多项式的根

1. 余数定理

2. 因式定理

3. 重根

4. 有理根

   设$f(x)=a_nx^n+\cdots +a_0$是一个整系数多项式，$\frac{r}{s}$是它的一个有理根，其中$r,s$互素，那么必有

   $$s|a_n,r|a_0$$
   特别的，当$f(x)$的首项系数为$a_n=1$，那么$f(x)$的有理根是整数，而且是$a_0$的因子。

例题

1. $x^d-1|x^n-1 \Leftrightarrow d|n$

2. $x^2+x+1|x^{3m}+x^{3n+1}+x^{3p+2}$(m,n,p都是整数)

3. $f(x)\in P[x], 且\partial(f(x))=n(>0),f'(x)|f(x) \Leftrightarrow f(x)=a(x-b)^n$

4. $f(x) \in C, and \quad \partial(f(x))=n(> 0) f(0)=0 $令$g(x)=xf(x),$若$f'(x)|g'(x),$则$g(x)$有$n+1$重$0$根

5. $f(x)\in P,and \quad \partial (f(x))\ge 1,$则$f(x)$是一个不可约多项式的方幂$\Leftrightarrow，\forall g(x)$必有$(f(x),g(x))=1$或$\exist m\in Z^+,f(x)|g^m(x)$

6. 设$m\in Z^+,f(x),g(x)\in P[x]且f(x)\neq 0,g(x)\neq 0 ,求证g^m(x)|f^m(x)\Leftrightarrow g(x)|f(x)$

7. 求$t$,使$f(x)=x^3-sx^2+tx-1$有重根

8. 若$x-1|f(x^n)$,求证$x^n-1|f(x^n)$

9. 设$f(x)$为整系数多项式，存在整数$k，k\nmid f(i)i=1,2,3\cdots k$，求证$f(x)$无整数根。

10. 设$p$是素数，则$f(x)=1+x+\cdots+\frac{x^p}{p!}$在有理数域不可约。