任何处处可导的矢量场都可以分解为一个无旋场$F_d(\vec{r})$，一个无散场$F_c(\vec{r})$，和一个调和场$H(\vec{r})$.
$$
F(\vec{r})=F_d(\vec{r})+F_c(\vec{r})+H(\vec{r})
$$

我们把散度和旋度都为零的场称为无散无旋场或调和场，注意后者并不是一个很常用的数学名词。如果这只在一个空间的一定区域内成立，那么就说他在这个区域内是调和场。

调和场

由于调和长旋度为零，线积分与路径无关，必定可以定义势函数$u(\vec{r})$(包含一个任意常数项)，而调和场就是其梯度
$$
f(\vec{r})=\nabla\cdot u
$$
要保证散度$\nabla\cdot f$为零，上式要求$u$是一个调和函数：
$$
\nabla^2u=0
$$
所以调和场的充分必要条件是他可以表示为一个调和函数的梯度，因为只有常数的梯度处处为零，当且仅当给调和函数加一个任意常数时，$f(\vec{r})$不会改变。

调和场在电磁学中经常出现，若在空间中选取一个不含电荷的区域，那么该区域外的静止电荷以及恒定电流在该区域中产生的电场和磁场都是调和场——由麦克斯韦方程组可知他们的散度和旋度在该区域都为零。

  • 调和场的各个分量都是调和函数。
  • 如果$\mathbb{R}^N$上的调和场都是有界的(模长为有限值)，那么它是一个常矢量场。
  • (最大值定理)$\mathbb{R}^N$的有限区域内的调和场的模场最大值必定出现在该区域的边界处。
  • 如果$\mathbb{R}^N$上的调和场$f(\vec{r})$满足$\lim_{|r|\to\infty}|f(\vec{r})|=0$，那么$f(\vec{r})\equiv 0$.

具体分解形式

Helmholtz分解不是唯一的，我们也可以给$F_d(\vec{r})$和$F_c(\vec{r})$右端分别加上任意调和场，分解依然成立。除此之外不存在其他分解方法。

令
$$
\begin{aligned}\rho(\vec{r})\equiv \nabla\cdot &F(\vec{r})\quad j(\vec{r})\equiv\nabla\times F(\vec{r})\\F_d(\vec{r})&\equiv\frac{1}{4\pi}\int\frac{\rho(\vec{r}'R)}{R^3}dV'\\F_c(\vec{r})&\equiv\frac{1}{4\pi}\int\frac{j(\vec{r}')\times R}{R^3}dV'\\H(\vec{r})&\equiv F(\vec{r})-F_d(\vec{r})-F_c(\vec{r})\end{aligned}
$$
其中，$\vec{r},\vec{r'}$分别是坐标原点指向三维直角坐标$(x,y,z)$和$(x',y',z')$的位置矢量，$R=r'-r$，$R=|\vec{R}|$,体积分$\int dV'=\int dx'dy'dz'$的区域是整个三维空间或者其中$F$不为零的区域，$\times$表示向量叉乘。

特殊的，如果要求$F_d,F_c$在无穷远处都趋于零，这就要求$F_d(\vec{r})$和$F_c(\vec{r})$右端不能加上非零调和场，多以在该条件下Helmholtz分解唯一。

另一种表示

上述分解采用的是积分的方法，我们也可以用微分来描述，无旋场总能表示为某个标量函数$V(\vec{r})$的梯度，而无旋场总能表示为另一个矢量场$A$的旋度，所以
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F_d=\nabla V\quad F_c=\nabla\times A
$$
所以Helmholtz分解也可以记为
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F=\nabla V+\nabla\times A+H
$$