$\delta$函数是一个广义函数，对于一维的$\delta$函数，给出如下定义
$$
\delta=\left\{\begin{aligned}+\infty \quad &x=0\\0\quad &x\neq0\end{aligned}\right.
$$
函数只在$x=0$处有值，在其他区域均为0. 且积分满足如下式子
$$
\int_a^b\delta(x)dx=0,\quad a,b<0\;or\;a,b>0.
$$
$$
\int_a^b\delta(x)dx=1,\quad a<0<b.
$$
当积分区域包含点$x=0$时，积分才有值，且值为1，由此知广义函数$\delta(x)$的量纲为$\frac{1}{\left[x\right]}$, 我们可以将$\delta$函数看成某个带参数的函数序列的极限(参数取极限)下的函数。比如$\delta(x)=\lim_{l\to 0}\frac{1}{l}rect(\frac{x}{l})$, rect是矩形函数。
函数性质
-
挑选性
$$
\int_{-\infty}^{+\infty}f(x)\delta(x-x_0)dx=f(x_0)
$$
$\delta$函数将任意函数$\delta$函数在$x=x_0$的值挑选了出来，有了挑选性，我们就可以得到$\delta$函数的(广义)傅里叶变换，得到它的频谱
$$
F(\omega)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}\delta(x-0)e^{-i\omega x}dx=\frac{1}{2\pi}e^{-i\omega0}=\frac{1}{2\pi}
$$
是一个常数，说明函数的频率是均匀的，函数含有的各频分量的比例相同，逆傅里叶变换为
$$
\delta(x)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}e^{i\omega x}d\omega
$$$$
\int_a^bf(x)\delta(x-y)dx=f(y)\quad a<y<b
$$ -
偶函数
$$
\delta(x)=\delta(-x)
$$ -
平方差
$$
\delta(x^2-a^2)=\frac{1}{2|a|}\left[\delta(x+a)+\delta(x-a)\right]
$$ -
数乘
$$
\begin{aligned}\delta(ax)&=\frac{1}{a}\delta(x)\\x\delta(x)&=0\end{aligned}
$$ -
复合
$$
\begin{aligned}\delta(f(x))&=\sum_i\delta(f'(x_i)(x-x_i))\\&=\sum_i\frac{1}{|f'(x_i)|}\delta(x-x_i)\end{aligned}
$$ -
三维
$$
\begin{aligned}\delta(\vec{r})&=\delta(x)\delta(y)\delta(z)\\\delta(a-b)&=\delta(x_a-x_b)\delta(y_a-y_b)\delta(z_a-z_b)\end{aligned}
$$ -
泛函
任何一个函数都可以用狄拉克$\delta$函数表示为一个泛函。例如
$$
\rho(r)=\int \rho(r')\delta(r-r')dr'
$$
这个式子将$\rho(r)$变为$\rho(r')$的泛函。由此还可以得到下面的重要关系式：
$$
\frac{\delta\rho(r)}{\delta\rho(r')}=\frac{\delta\int\rho(r')\delta(r-r')dr'}{\delta\rho(r')}=\frac{\partial(\rho(r')\delta(r-r'))}{\partial\rho(r')}=\delta(r-r')
$$$$
\int\rho(r')\nabla_{r'}\delta(r-r')dr'=-\nabla_{r}\rho(r)
$$
Example
-
级数
$$
\delta(x)=\lim_{a\to0}\frac{1}{\pi}\frac{a}{a^2+x^2}
$$$$
\delta(x)=\lim_{a\to0}\frac{ax}{(x^2+a^2)^{\frac{3}{2}}}
$$ -
三角关系
$$
\delta(\phi-\phi')=\lim_{r\to1}\frac{1-r^2}{2\pi}\frac{1}{1-2r\cos(\phi-\phi')+r^2}
$$ -
量子物理中对于任意正交归一的$\psi_n(x)$
$$
\delta(x-x')=\sum_n\psi^{\dagger}_n(x)\psi_x(x)
$$
$exp. \psi_n(x)=\frac{1}{\sqrt{2l}}e^{\frac{i\pi n}{l}x}$ -
玻尔半径
$$
\delta(r)=\lim_{a\to0}\frac{e^{-\frac{r}{a}}}{a}
$$ -
高斯波包
$$
\delta(r)=\frac{2}{\sqrt{\pi}}\lim_{a\to0}\frac{e^{-\frac{r^2}{a^2}}}{a}
$$ -
扩散方程
$$
\delta(x)=\frac{1}{2\sqrt{\pi Dt}}\lim_{t\to0}e^{-\frac{x^2}{4Dt}}
$$ -
一维推导举例
$$
\begin{aligned}\delta(x)&=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}e^{ikx}dk\\&=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^0e^{ikx}dk+\frac{1}{2\pi}\int_{0}^{\infty}e^{ikx}dk\\&=\frac{1}{\pi}\int_0^{\infty}\cos{kx}\;dk\\&=\frac{1}{\pi}\lim_{a\to0}\int_{0}^{\infty}e^{-ax}\cos{kx}\;dk\\&=\frac{1}{\pi}\lim_{a\to0}\frac{a}{a^2+k^2}\end{aligned}
$$
- 三维推导举例
$$
\begin{aligned}\delta(x)&=\frac{1}{(2\pi)^3}\int d^3ke^{ik\cdot r}\\&\overset{\xi=\cos{\theta}}{=}\frac{1}{(2\pi)^2}\int e^{ikr} k^2dkd\xi\\&=\frac{1}{(2\pi)^2}\int_0^{\infty}k^2dk\int_{-1}^{1}d\xi e^{ikr\xi}\\&=\frac{1}{(2\pi)^2}\frac{1}{r}\int_0^{\infty}k\sin{kr}dk\end{aligned}
$$
拉普拉斯
$$
\nabla^2\frac{1}{|r-r'|}=-4\pi\delta(r-r')
$$
$$
\int d^3r\frac{e^{ik\cdot r}}{r^{1+\epsilon}}=\frac{4\pi}{k}\int_{0}^{\infty}r^{-\epsilon}drsinkr
$$
$$
\frac{4\pi}{r^{\mu+1}}=\frac{1}{\Gamma(\mu)\sin{\frac{\mu\pi}{2}}}\int dke^{ik\cdot r}k^{\mu-2}
$$
$$
\nabla^2\int dr'\frac{\rho(r')}{|r'-r|^{\mu+1}}=\int G(r'-r)\rho(r')dr'
$$
其中$G$为格林函数，只有当$\mu=0$时，场才是局域的
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