基本知识
- 数列收敛发散的$\varepsilon-N$定义
- 性质与运算
唯一性，有界性，保号性，不等式性质，迫敛性（两边夹），四则运算法则。 - 数列极限存在的条件
- 常用的极限
- $Stolz$定理
要点及方法
- 判断数列的敛散性及证明极限存在
- 定义
- 单调有界定理
- 夹逼定理
- $Cauchy$准则
- $Stolz$公式
- 求已知数列的极限
- 变量替换法
- 级数
- 定积分求极限
- 归结原则
- 导数定义
- 利用上下极限
例题
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证明$\lim\limits_{n \to \infty}\frac{n^k}{a^n}=0$
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若$\lim\limits_{n \to \infty}x_n=A$,则$\lim\limits_{n \to \infty}\frac{x_1+x_2+\cdots+x_n}{n}=A$
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若$\lim\limits_{n \to \infty}x_n=A,\lim\limits_{n \to \infty}y_n=B,则\lim\limits_{n \to \infty}\frac{x_1y_n+x_2y_{n-1}+\cdots+x_ny_1}{n}=AB$
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求极限$\lim\limits_{n \to \infty}[(n+1)^\alpha-n^\alpha],0<\alpha<1$
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$x_0=a,x_1=b,x_n=\frac{1}{2}(x_{n-1}+x_{n-2})(n \geq 2),求\lim\limits_{n \to \infty}x_n$
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$\lim\limits_{n \to \infty}tan^{n}(\frac{\pi}{4}+\frac{1}{n})$
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$\lim\limits_{n \to \infty}\frac{n^3 \sqrt[n]{2}(1-cos\frac{1}{n^2})}{\sqrt{n^2+1}-n}$
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$\lim\limits_{n \to \infty}(\frac{\sqrt[n]{a}+\sqrt[n]{b}}{2})$
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$\lim\limits_{n \to \infty}[(1+n)^\alpha-n^\alpha]$
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$\lim\limits_{n \to \infty}\frac{n(\sqrt[n]{n}-1)}{\ln{n}}$
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$\lim\limits_{n \to \infty}\frac{n^n}{s^n\cdot n!}$
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