元宇宙（英语：Metaverse)，或称为形上宇宙、元界、超感空间、虚空间，被用来描述一个未来持久化和去中心化的在线三维虚拟环境。此虚拟环境将可以通过虚拟现实眼镜、增强现实眼镜、手机、个人电脑和电子游戏机进入人造的虚拟世界。元宇宙在电脑游戏、商业、教育、零售和房地产领域都有明确的用例。大规模采用元宇宙的最大限制来自于目前与实时虚拟环境交互所需的设备和传感器的技术限制。许多公司，如Meta、机器砖块、Epic Games和微软，正在投资于元宇宙相关技术的研究，以使其更具成本效益和更广泛地使用。信息隐私和用户成瘾是元宇宙的关注，源于目前社交媒体和电脑游戏行业整体面临的问题。
什么是元宇宙
元宇宙这个词源于 1992 年尼尔·斯蒂芬森的《雪崩》，这本书描述了一个平行于现实世界的虚拟世界，Metaverse，所有现实生活中的人都有一个网络分身 Avatar。维基百科对元宇宙的描述是：通过虚拟增强的物理现实，呈现收敛性和物理持久性特征的，基于未来互联网，具有链接感知和共享特征的 3D 虚拟空间。
正如电影《头号玩家》的场景，在未来的某一天，人们可以随时随地切换身份，自由穿梭于物理世界和数字...
二维拉普拉斯方程极坐标形式
二维Laplace方程
$$
\frac{\partial^2u}{\partial x^2}+\frac{\partial^2u}{\partial y^2}=0
$$
令$x=rcos\theta, y=rsin\theta$，则
$$
\left\{\begin{aligned}\frac{\partial u}{\partial r}&=\frac{\partial u}{\partial x}\frac{\partial x}{\partial r}+\frac{\partial u}{\partial y}\frac{\partial y}{\partial r}=\frac{\partial u}{\partial x}cos\theta+\frac{\partial u}{\partial y}sin\theta\\\frac{\partial u}{\partial \theta}&=\frac{\partial u}{\partial x}\frac{\partial x}{\partial \theta}+\fra...
Screen简介
在Screen环境下，所有的会话都独立的运行，并拥有各自的编号、输入、输出和窗口缓存。用户可以通过快捷键在不同的窗口下切换，并可以自由的重定向各个窗口的输入和输出。
远程服务器的时候，断网或者手误关掉了远程终端，会导致会话中断，程序终止。
而Screen连接的终端，会话独立运行，程序会一直进行。而且会话可以恢复，还可以自行删除。
常用Screen命令
screen -S yourname # 新建一个叫yourname的session
screen -ls # 列出当前所有的session
screen -r yourname # 回到yourname这个session
screen -d yourname # 远程detach某个session # detach快捷键 ctrl a + d
screen -d -r yourname # 结束当前session并回到yourname这个session
screen -S yourname -X q...
Theorem
Let $h=\max_{1\leq i\leq n}(x_i-x_{i-1}).$ Then
$$
\parallel u-u_I\parallel_E\leq Ch\parallel u''\parallel
$$
for all $u\in V$, where $C$ is independent of $h$ and $u$.
Proof
Recalling the definition of two norms, it is clearly sufficient to prove the estimate piecewise, i.e., that
$$
\int_{x_j-1}^{x_j}(u-u_I)'(x)^2dx\leq c(x_j-x_{j-1})^2\int_{x_{j-1}}^{x_j}u''(x)^2dx
$$
as the stated result follows by summing over $j$, with $C=\sqrt{c}$. Let $e=u-u_I$ denote the error; since $u_I$ is...
MPI与OpenMPI和MPICH等的关系
MPI(Message Passing Interface)，由其字面意思也可些许看出，是一个信息传递接口。可以理解为是一种独立于语言的信息传递标准。而OpenMPI和MPICH等是对这种标准的具体实现。也就是说，OpenMPI和MPICH这类库是具体用代码实现浏MPI标准。因此我们需要安装OpenMPI或者MPICH去实现我们所学的MPI的信息传递标准。
为了考虑到教程的完整性，所以单独用一篇文章来介绍一下MPI库的安装方法。安装方法千篇一律，网上随手一查就能查到一堆，我本人也写不出什么花样来。若你已经配置好了MPI环境，可以忽略本文，直接跳到下一章去学习。考虑到大部分人在实现并行编程都是在CPU集群上完成，而这些服务器几乎都是使用的Linux系统。因此下文采用Linux来作为讲解，为了使本文看起来稍微有点干货，我尽量在安装步骤中扩展一些我认为Linux初学者有必要知道的东西。相信初学者在用集群安装时会出现各种各样的问题，报一些对于初学者来说难以解决的问题。这对于初学者来说很打击积极性，如果学习的热情被安装时的报错信息消耗殆尽是很可惜...
MFEM
Building MFEM
Serial version of MFEM and GLVis
Put everything in the same directory:
~> ls
glvis-3.4.tgz mfem-3.4.tgz
Build the serial version of MFEM:
~> tar -zxvf mfem-3.4.tgz
~> cd mfem-3.4
~/mfem-3.4> make serial -j
Build GLVis:
~> tar -zxvf glvis-3.4.tgz
~> cd glvis-3.4
~/glvis-3.4> make MFEM_DIR=../mfem-3.4 -j
That's it! The MFEM library can be found in mfem-3.4/libmfem.a, while the glvis executable will be in the glvis-3.4 directory.
Note: as of version 4.0,...
微分方程数值解法
改进Euler法
局部误差分析
将$t\in[t_n,t_{n+1}]$表示成$t=t_n+\tau h,0\leq\tau\leq 1$. 由线性插值的余项公式，我们有
$$
\begin{aligned}f(t,u(t))&=u'(t)=u'(t_n+\tau h)\\&=u'(t_n)+u''(t_n)(\tau h)+\frac{h^2}{2}u'''(t+\theta h)\omega_2(t)\\&=u'(t_n)+\tau[u'(t_{n+1})-u'(t_{n})]+\frac{h^2}{2}\tau(\tau-1)u'''(t_n+\theta h),(0\leq\theta\leq1)\end{aligned}
$$
插值余项及其估计
于是
$$
\begin{aligned}\int_{t_n}^{t_{n+1}}f(t,u(t))dt&=\int_0^1f(2h,u(2h))hd\tau\\&=\int_0^1\left(u'(t_n)+\tau[u'(t_{n+1})-u'(t_{n})]\r...
重心坐标及其导数
数学中，重心坐标是由单形(如三角形或四面体等)顶点定义的坐标。重心坐标是齐次坐标的一种。
设$v_1, v_2, \cdots, v_n$ 是向量空间$V$中的一个单形的顶点，如果$V$中某点$p$满足
$$
(\lambda_1+\cdots+\lambda_n)p=\lambda_1v_1+\cdots+\lambda_nv_n
$$
那么我们称系数$(\lambda_1,\cdots,\lambda_n)$是$p$关于$v_1,v_2,\cdots,v_n$的重心坐标。这些顶点自己的坐标分别是$(1,0,0,\cdots,0), (0,1,0,0,\cdots,0) , \cdots, (0,0,0,\cdots,1)$重心坐标不是惟一的：对任何不等于零的$k$，$(k\lambda_1,\cdots,k\lambda_n)$也是$p$的重心坐标。但总可以取坐标满足$\lambda_1+\cdots+\lambda_n=1$，称为正规化坐标。注意到定义式在仿射变换下不变，故重心坐标具有仿射不变性。
如果坐标分量都非负，则$p$在$v_1,\cdots,v_...
fealpy网格生成
构造性方法
import sys
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from fealpy.mesh import TriangleMesh
node = np.array([
[0.0, 0.0],
[1.0, 0.0],
[1.0, 1.0],
[0.0, 1.0]], dtype=np.float) # (NN, 2)
cell = np.array([[1, 2, 0], [3, 0, 2]], dtype=np.int) # (NC, 3)
mesh = TriangleMesh(node, cell)
node = mesh.entity('node')
edge = mesh.entity('edge')
cell = mesh.entity('cell')
fig = plt.figure()
axes = fig.gca()
mesh.add_plot(axes)
mesh.find_node(axes, showindex=Tru...
In the mathematical field of numerical analysis, a Bernstein polynomial is a polynomial that is a linear combination of Bernstein basis polynomials.
A numerically stable way to evaluate polynomials in Bernstein form is de Casteljau's algorithm.
Definition
The $n+1$Bernstein basis polynomials of degree $n$ are defined as
$$
b_{v,n}(x)=\binom{n}{v}x^v(1-x)^{n-v},\quad v=0,\cdots,n,
$$
where $\binom{n}{v}$ is a binomial coefficient. So, for example, $b_{2,5}(x)=\binom{5}{2}x^2(1-x)^3=10x^2(1...
Introduction
Definition (Gradient Flow in Linear Space)
X is a linear space, and $F:X \to \mathbb{R}$ is smooth. Gradient flow (or steepest descent curve) is a smooth curve $X:\mathbb{R}\to X$such that
$$
x'(t)=-\nabla F(x(t)).
$$
Existence and uniqueness of the solution
Since many PDEs are in the form of a gradient flow, the analysis can be applied to them.
Example
For $X=L^2(\mathbb{R}^n)$, a Hilbert space, and for Dirichlet energy $F(u)=\frac{1}{2}\int|\nabla u(x)|^2dx$, the Heat E...
简介
在工程应用中，我们经常会遇到下面的带限制的优化问题
$$
\begin{equation}\begin{aligned}\min_x \quad f(x), \\ s.t\quad Ax=b,x \in \bar{C}, \end{aligned}\end{equation}\tag{1.1}
$$
其中,$f$是一个函数,$A$为矩阵，$b$为列向量，$C$为一个开集合，$\bar{C}$为集合的$C$的闭包(可以理解为$C$的内部的点以及边界点组成的集合)。在$(1.1)$的问题中，我们需要找到一个$x$满足$Ax=b$，$x$在集合$\bar{C}$中，使得$f(x)$最小。
当没有限制的时候，即如果我们求解的问题是
$$
\begin{equation}\begin{aligned}\min_x f(x)，\end{aligned}\end{equation} \tag{1.2}
$$
我们可以使用梯度下降算法来求解. 梯度下降在连续的情况下，即步长趋向于无限小的情况下，可以用常微分方程来表示,即
$$
\dot{x}(t)=-\nabla f(x(t))\tag{...
安装Apache服务
Apache是世界使用排名第一的Web服务器软件。它可以运行在几乎所有广泛使用的计算机平台上，由于其跨平台和安全性被广泛使用，是最流行的Web服务器端软件之一。
执行如下命令，更新软件库。
apt-get update
执行如下命令，更新软件。
apt-get upgrade -y
执行如下命令，安装Apache服务。
apt-get install apache2 -y
执行如下命令，重启Apache服务。
/etc/init.d/apache2 restart
命令结果显示[ok]，表示安装成功。
安装MySQL数据库
执行如下命令，下载APT存储库。
wget https://dev.mysql.com/get/mysql-apt-config_0.8.10-1_all.deb
执行如下命令，安装DEB包。
dpkg -i mysql-apt-config_0.8.10-1_all.deb
命令结果显示，选择ok，按回车。
执行如下命令，更新软件库。
说明:需要安装MySQL最新版本。如果不更新，默认会安装MySQL ...
python语言的高级特性
函数式编程（FunctionalProgramming）
基于lambda演算的一种编程方式
程序中中有函数
函数可以作为参数，同样可以作为返回值
纯函数式编程语言：LISP，Haskell、
python函数式编程只是借鉴函数式编程的一些特点，可以理解成一半函数式一半python
需要学习
高阶函数
返回函数
匿名函数
装饰器
偏函数lambda表达式
函数：最大程度复用代码
存在问题：如果函数很小，很短，则会造成啰嗦
如果函数被调用次数少，则会造成浪费
对于阅读者来说，造成阅读流程的被迫中断
lambda表达式（匿名函数）：
一个表达式，函数体相对简单
不是一个代码块，仅仅是一个表达式
可以有参数，有多个参数也可以，用逗号隔开
# “小”函数举例
def printA():
print("AAAAAA")
printA()
AAAAAA
# lambda表达式的用法
# 1. 以lambda开头
# 2. 紧跟一定的参数（如果有的话）
# 3. 参数后用冒号和表达式主体隔开
# 4. 只是一个表达式，所以...
VSCode 使用起来还是很方便的，运行速度快，占用系统资源小，还有丰富的插件
