基本知识

• 上确界：
• 确界原理：非空有上（下）界的数集必存在上（下）确界。上（下）确界一定唯一。

1. 求函数的定义域，常用方法是解不等式组。
2. 求函数表达式及值域，对表达式常用代入法。求值域一般是求函数的最大 值与最小值。
3. 求上、下确界或证明确界的性质，一般利用确界定义。
4. 周期函数的判定与性质应用，常用方法是猜想周期T加以证明，用反证法证明不是周期函数。
5. 函数奇偶性判定、验证。
6. 单调性判定及应用常用方法:

   1）求导数.
   2）定义。
   3）按图形。

7. 有界性判定:

   1）由定义（上、下界不一 定一样）。
   
   2）先证局部有界，再由有限覆盖定理证明。

例题

1. $f(x)=sin(x) g(x)=sin\alpha x,(\alpha是正无理数),F(x)=f(x)+g(x)$不是周期函数

2. $f(x)=sinx^2$不是周期函数

3. 设$f$是周期函数，且有基本函数周期$\sigma$(>0),又设$g(x)=f(x^2)$。证明$g$不是周期函数。

4. 设$f(x)$在$[a,b]$上有定义，且在每一点极限存在，求证$f(x)在[a,b]$有界。

5. 是否存在这样的函数，它在区间[0,1]上每点都取
   有限值，但在此区间的任何点的任何邻域內都无界.

6. 设函数$f(x)$定义在区间$I$上，如果区域对于任何$x_1.x_2 \in I, 及\lambda \in (0,1),恒有f(\lambda x_1+(1-\lambda)x_2)\leq\lambda f(x_1)+(1-\lambda)f(x_2),证明在区间I的任何闭子区间上f(x)有界$